前言 从教二十余年，对人教版的初中数学教材可以说是了如指掌，历经这么多年，虽说教材也有几次改革，但与现行的新可标相比，05届的初三几何教材就显得有些滞后，因为新课程给予学生广阔的学习空间，需要教师引导学生采用多种学习方式走进数学学习，特别是指导学生自主、探究、合作学习，让学生经历学习数学知识的全过程，使学生形成独立的学习能力、科研能力，数学新教材中已呈现了以课题研究为主的学习材料，如果认真组织好学习过程，那么，学生不仅学会了一些数学知识，而且在研究的过程中初步形成科学研究问题的习惯和能力。如何领会新课标，用好旧教材自然就成了我们备课组的主要教研任务。然而，一学期下来，由于中考的压力以及传统的教学模式的束缚，使自己总领悟不到好的题材切入点，在第三册几何《镶嵌在作图中的应用》一节的教学才有了一点要按新课标的要求上好这一节课的强烈愿望，于是经备课组集体研究，结合自己的体会，便有了这一节课的教学思路和片断： 一，课前准备，提出问题 课前，布置学生自学几何课本，并利用周末时间从网上下载镶嵌图片，拍摄家庭，公共场所的墙面，地面的装饰图案，并将所收集的资料带回学校，按原来的每班9个学习小组进行整理，研究，然后引导学生通过对图案的分析，提出一些与课堂学习内容有关的问题，并从中筛选出一些有代表性的图案，如： 在初三（9）班开始这一节课的教学时，我首先指出，随着生活水平的提高，人们对家庭居住环境不断提出更高的要求，在室内地面、墙面装潢中，对选用地板或瓷砖的形状、图案，除了其外观美之外，对铺在地面或墙面的式样也不断有所讲究，请看（展示收集的图案），学生观察这些图片的美之所在，使他们有一个初步的图形感知，对每一组的图案特点，由提供的小组代表进行概括： 第1组代表黄俊明发现：我们这组图片中的地砖有的是由正方形组成，有的是由正六边形组成，也有用两种（三角形和正方形）组成的。 第3组代表方卓男发现：我们看到图片中的地砖都是铺得平平的，地砖的大小是一样的，地砖与地砖的顶点在一个点上。 第7组代表陆少清发现：这些地砖之间没有一点的空隙，全铺严了，也没有重叠在一起的。 学生们在感知中已发现地砖铺地的特点，为这一节课从数学角度进行研究提供了好的前提。 二，实施教学互动 我在总结同学们的意见之后指出，同学们发现生活中的地砖形状实际是我们数学中的几何图形，那么，用地砖铺地或瓷砖贴墙，既不留下一点缝隙，又不互相叠压的把平面的一部分完全覆盖，就能够获得一个平面图形，从数学的角度看，这就是用多边形覆盖平面或平面镶嵌问题。人们正是利用数学知识来美化生活的，如果你是设计师，你用哪几种几何图形来作平面镶嵌？这时课堂气氛活跃起来，有些同学翻书找，有些同学拿纸画，也有些同学在思考，由自己的生活经验、感知，都想发表见解。 第二组同学唐碧君认为：用一种正多边形能作平面镶嵌，如正三角形、正方形、正五边形、正六边形等都可以。 这时马上就有很多同学提出反对意见，认为唐碧君同学生说的不准确，正五边形就不能进行平面镶嵌。 我接着这个话题问：为什么正五边形就不能进行平面镶嵌？接下来的气氛就有点沉闷，多数同学对其中的道理解释不清。而这个问题恰好是这一节课的第一个瓶颈，如何处理好这个问题至关重要，那么我采用启发式教学方式，把学生的注意力集中在观察共顶点的五边形的内角和等于多少的问题上来 ，然后进行比较，得出结论：正多边形能否镶嵌，关键看共顶点的内角和是否等于360，解决了这个问题后，下面的拓展就顺利多了，讨论也热烈了，接下来是学生的一个活动片段： 何卓铭提出：看刚才的图片发现，我认为既能用一种正多边形进行平面镶嵌，也能用两种正多边形进行平面镶嵌。 我说：很好，鼓励之后，同学们又陆续发现了一些问题，我便把学生发现的问题分类： 1）限用一种正多边形进行平面镶嵌，哪几种正多边形能用于平面镶嵌？ 2）限用两种正多边形进行平面镶嵌，分别有哪两种正多边形能用于平面镶嵌？有几种情况？ 3）平面镶嵌有什么规律吗？ 三，学术辩论，解决问题 结合学生提出的问题，我把“镶嵌问题”的课题研究划分为小课题，通过课堂逐步引导学生经历动手实验、观察发现、归纳总结、形成规律的全过程，初步具有探究意识。 1、动手实验、发现猜想 根据分类情况，我指出：同学们要弄清楚平面镶嵌的规律，就要研究上述问题，下面，请同学们拿出准备好的各种正多边形纸板，在小组内拼图、记录，并将结果先在组内交流，等实验结束后，我们看哪些小组把问题研究得最好。 （我在各小组巡视，并参与讨论，指导学生动手研究、记录，学生最善于动手、讨论，有的小组还在争吵） 2、学术讲演，质疑辩论 为了给学生充分表现的机会，我便在学生动手实验结束后，组织学生进行研究汇报，在全班开展辩论会，使学生在辩论中暴露思维，达到思维碰撞的目的。 通过大家动手拼板，很多同学得到了很多好结论，下面，“平面镶嵌问题研究”学术报告开始，各小组安排好汇报人员，下面听汇报的同学要认真思考，然后向汇报人提出质疑，进行辩论。 （做报告的可以发表自己小组的研究成果，听报告的可以挑别人的刺，太爽了！一时间教室内欢腾一片，同学们都跃跃欲试。这不，第4小组的同学领先了。） 问题1）解决过程： （第4小组的学术报告由姚书恒同学负责，麦崎同学负责展示图片） 报告摘要：我们小组通过对问题（1）研究后，得到：用一种正多边形能进行平面镶嵌的只有正三角形、正方形、正六边形三类。（麦崎同学展示图片，如图）下面请同学们对我们的结论提出质疑。 （报告就这样结束了？太简单了吧，肯定有人要反对的，果然，有人举手了！） 第1小组的黄俊明同学：A同学，我想知道为什么只有三角形、正方形、正六边形能作平面镶嵌，而其它的正多边形就不行呢？ （黄俊明同学带有几分挑衅的口吻，他想姚书恒同学会答不上来） 姚书恒同学：我们在实验中发现：围绕一个点的正多边形的内角加在一起恰好是一个周角时，就会拼成一个无缝隙、不重叠的平面图形。因此，我们得到上面的三种正多边形能作平面镶嵌，而其它的正多边形为什么就不能进行平面镶嵌呢？我们用正五边形、正八边形为例来说明，如图，我相信同学们由图便知道为什么用它们不能进行平面镶嵌。 （不得了，同学们立即给予热烈的掌声，黄俊明同学也跟着拍起了巴掌，并投给姚书恒以佩服的眼光） 我这时便因势利导：很好！第4小组的报告做得很精彩，他们把问题（1）解决得很到位，其他小组是这样思考的吗？ （有一部分小组的想法与第4小组的一样，但有些思考仅满足于拼图，找到了结论，不思考“为什么”？） 针对同学们的讨论，我做了这一节课的第一次板书小节：同学们刚才发现的结论是正确的。实际上用一种正多边形进行平面镶嵌，就是要使所用的正多边形的一个内角的度数能整除360。而我们知道，正多边形的每个内角的度数为 ，若设用某种正多边形x个，则 ，由此可得，x= ，由于x为正整数，所以n=3，4或6或时，才符合要求，这样，我们就验证了前面的结论的正确性。 问题（2）解决过程： （很多同学在理解了教师的解决方法后，就急于举手要解决问题（2），第3小组的同学说：老师，我们派代表做问题（2）的汇报，好吗？） （第3小组的学术报告由方卓男同学负责报告，张宇池同学负责展示图片） 第3小组的报告内容摘要：我们组借助拼板实验，发现用两种正多边形做平面镶嵌有以下6种情形，我们用表格进行了整理：（用两个正多边形镶嵌的六种情况表） 序号 正多边形的边数 3 4 5 6 8 10 12 1 3 2 2 4 3 2 1 4 2 2 2 5 2 2 6 2 1 下面就6种情形提出问题 在研究的过程中，为什么想到了正八边形、正十边形、正十二边形呢？超过正十二边形的正多边形行吗？ 再看张宇池同学的解答：我们由“围绕一个点的两种正多边形的内角加在一起恰好是一个周角”进行思考：若用正三角形和正方形进行镶嵌，由于它们的内角分别为60和90，一开始，我们用拼板反复做实验，发现用于平面镶嵌的正三角形和正方形分别是3个和2个，于是，我们想，都这样做，是不是有点太麻烦呢，后来，受到老师的方法的启发，我们经过讨论发现：设用x个正三角形，用y个正方形，则60x+90y=360，即2x+3y=6，由于，x、y都为正整数，所以只有x=3，y=2时，上式才成立，这样，我们就不再猜了，后面的结论同理得出了。 我的第二次小结：正如同学们所说的那样，如果我们仅用手中的正三角形、正方形、正五边形、正六边形拼板做实验，那么，研究的肯定不全面。第3组为我们介绍了他们的方法，其中“2x+3y=6”是我们将来要学习的“二元一次方程”，你们不满足于“猜”的思考，而是从数学方法上去推敲，值得表扬。 在经过第二次小结后，最后一个问题终由学生提出：用三种不同的正多边形进行镶嵌，会有些什么情况吗？（这个问题提得好，能发散思考问题，看来学生提出问题，研究问题的意识已被激发了） 这一节课的教学目标到这时已基本实现，接下来，我把刚才同学提出的问题交给他们自己，此时离下课只有6分钟，但就是这么几分钟的时间，同学们硬是用拼图法，方程解法，并借助对前两个问题的解决，很快就知道了问题（3）的结论：平面镶嵌必须在一个点处的正多边形的内角的和为360。 四，问题解决的延续 通过这一节克，我发现，同学们对于平面镶嵌问题的研究是比较认真的，通过动手实验，动脑思考，细心发现，掌握了平面镶嵌的知识……，更让我感到惊喜的是同学们还发现：不用正多边形，只用形状、大小相同的任意平行四边形或长方形也能进行平面镶嵌；或用形状、大小相同的任意三角形或任意四边形同样也能进行。 对于这一问题的发现很有价值，也使得本节课的内容得到很好的延续，因势利导，我给学生布置了这节课的作业是： （1）调查亲戚朋友，家长对生活中的平面镶嵌图形知多少，然后帮助他们解释其中的数学道理。 （2）根据自己的爱好，设计一个美丽的平面镶嵌图案， （3）以“铺地砖用到数学”为题写一篇小论文。 反思与提炼： （1）“从生活走进课程，从课程走进生活”是新课程理念在旧教材中的体现。 我们借助课题学习的好材料，拓展了课堂的时空范围，使学生的学习方式，学习时空也随之而发生了改变。也使他们由生活走进数学，又由数学走向生活，不断培养了学生收集、处理数学信息的能力。使他们会用数学知识解释生活现象，并能用数学美化生活。 （2）交流与评价 借助信息技术，加大师生、生生间的信息交流，在师生平等的教与学的活动中，学生迸发出创造性的思维火花成了教学的核心，同时，增加了课堂的不可预测性，这就不仅需要教师的知识、能力，更需要教师有较强的教学机智，以及启迪学生开展研究的能力。 在师生、生生的交流中，评价数学学习已不再是教师的“专利”，而是教师评价学生、学生评价学生、学生评价教师的多元评价形式的自然展现。 （3）学生学习方式的改进 “探究学习”是一个全新的教与学的“课题”，应用科学研究的范式，引导学生开展研究，从观察生活、发现问题、提出问题、研究问题、学术答辩、形成规律等环节上引导学生，而且使学生掌握数学学习的方法，初步形成科学研究的意识和方法，同时，使学生体会到勤于动手、勇于实践、善于观察和总结、乐于合作研究是将来从事科研的基本素养。